<<高等数学>>教学大纲

 课程性质：理工科基础课

 学分数：5+5   总学时数：6*15+6*18=198学时

 I   一元函数微积分（51+12学时）

 II  空间解析几何与多元函数微积分（21+6学时）
 III 常微分方程（12+3学时）

 Ⅳ  无穷级数（15+3学时）

 V   线性代数（21+6学时）

 VI  线性规划与数学建模（6学时）

 VII  概率统计（33+9学时）                       

教学对象：理工科自然科学类和技术科学类专科一年级学生
教学内容与要求：

高等数学 (上) 总学时:72+18

一、教学内容
1、函数
函数概念：函数的图象；函数的性质；复合函数：反函数；初等函数.
2、数列的极限
无穷小量；无穷小量的运算；数列的极限；收敛数列的性质；单调有界数列； Cauchy收敛准则.
3、函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限；极限的性质；单侧极限；无穷远处的极限 曲线的渐近线.
4、函数的连续性
函数在一点的连续性；函数的间断点；区间上的连续函数；闭区间上连续函数的性质；无穷小和无穷大的连续变量.
5、导数的概念
导数的概念；导数的意义；
6、导数的运算
初等函数的导数；四则运算的求导法则；复合函数求导的链式法则；反函数求导法则；对数求导法；高阶导数.
7、微分运算
基本初等函数的微分公式；微分运算法则；一阶微分的形式不变性；隐函数求导法；参数方程确定的函数求导；微分的应用：近似计算、误差估计.
8、微分学中值定理
局部极值与Fermat定理；Rolle定理；微分学中值定理；Cauchy中值定理.
9、L'Hospital法则
0/0型的极限； ∞／∞ 型的极限；其它不定型的极限.
10、Taylor公式
带Peano余项的Taylor公式；带Lagrange余项的Taylor公式；Machlaurin．公式.
11、函数的单调性和凸性
函数的单调性；函数的极值；最大值和最小值；函数的凸性； 曲线的拐点；函数图象的描绘.

12、定积分的概念、性质和微积分基本定理
面积问题；路程问题；定积分的定义；定积分的性质；原函数；微积分基本定理.
13、不定积分的计算
不定积分；基本不定积分表；第一类换元积分法(凑微分法)；第二类换元积分法；分部积分法；有理函数的积分；某些无理函数的积分；三角函数有理式的积分.
14、定积分的计算
分部积分法；换元积分法；
15、定积分的应用
微元法；面积问题；已知平行截面面积求体积；旋转体的体积；曲线的弧长.旋转曲面的面积；质量、引力、液体对垂直壁的压力、功。
16、广义积分
无穷限的广义积分；无界函数的广义积分.

二、教学要求

1、理解函数、函数的图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念及性质.
2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念.
3、掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念.
4、理解数列极限的概念.
5、掌握数列极限的性质及四则运算法则.
6、掌握单调有界数列必有极限的准则，掌握数列极限的夹逼准则，并会利用它们求极限,了解Cauchy 收敛原理.
7、理解函数极限的概念(含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极限).
8、掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要的极限求有关的极限.
9、会求曲线的水平、垂直和斜渐近线.
10、理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较法，会用等价无穷小求极限.
11、理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性.
12、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用.
13、理解微分和导数的概念、关系和几何意义.会用导数描述一些物理量, 理解函数的可微性和连续性的关系.
14、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法.
15、理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
16、了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算和误差估计中的应用.
17、理解Rolle定理，Lagrange微分学中值定理，了解并会用Cauchy中值定理.
18、掌握用L'Hospital法则求未定式极限的方法.
19、掌握带Peano余项和Lagrange余项的Taylor公式，掌握Maclaurin公式.
20、理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，
掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
21、了解用导数判断函数的凸性和拐点的方法.
22、了解根据函数的微分性质描绘函数图象的方法.

23、理解定积分的概念、意义和性质，理解原函数的概念.
24、掌握微积分基本定理.
25、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积
26法，掌握分部积分法.
27、会计算有理函数的积分、某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分.
28、掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法.

II  空间解析几何与多元函数微积分

一、教学内容

（一）空间解析几何

1、空间直角坐标系；

2、向量及其坐标表示法；
3、向量的数量积、外积、向量积与混合积；
4、空间平面及其方程、空间直线及其方程；
5、空间曲面及其方程、空间曲线及其方程；

（二）多元函数微积分

1、二元函数的概念；二元函数的极限与连续
2、偏导数与全微分

偏导数；全微分；偏导数与全微分的计算；高阶偏导数.可。
3、（复合函数求导法）链式求导法则
多元函数求导的链式法则；全微分的形式不变性.

4、隐函数微分法及其应用

多元函数的隐函数存在定理.多元函数组的隐函数存在定理；

5、重积分的概念及其性质
重积分概念的背景；重积分的概念；重积分的性质.
6、二重积分的计算

二、教学要求
（一）空间解析几何

1、理解直线、线段、有向线段等的联系与区别；了解空间直角坐标系的建立及左、右手系；空间任意两点间的距离公式；

2、理解向量概念及加减法；理解向量的坐标表示；掌握向量的外积和混合积的概念、性质及运算.
3、掌握常用平面方程和直线方程及其求法，能根据平面和直线的相互关系解有关问题.
4、掌握点到平面、直线的距离的计算方法, 掌握直线与直线、直线与平面的交角的计算方法。

（二）多元函数微积分

1、理解二元函数的概念、二元函数的极限和连续性；

2、理解偏导数的概念，掌握初等函数的偏导数的求法；

3、掌握多元复合函数的链式求导法、隐函数求导法；

4、会应用偏导数求解一些实际问题；

5、理解二重积分的概念及其性质；

高等数学 (下) 总学时：87+21

III  常微分方程

一、教学内容
1、常微分方程的概念
2、一阶常微分方程
变量可分离方程；齐次方程；全微分方程；线性方程；Bernoulli方程。
3、二阶线性微分方程
二阶线性微分方程：线性微分方程的解的结构；二阶常系数齐次方程的通解； 二阶常系数非齐次方程.
4、可降阶的高阶微分方程
形式为 的方程；形式为 方程；形式为 的方程。

二、教学要求
1、了解微分方程的阶、通解、初始条件及特解的概念.
2、掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法.
3、会解齐次方程、全微分方程和Bernoulli方程。
4、理解线性微分方程的概念，理解线性微分方程解的结构.
5、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.
6、会解一些可降阶的高阶微分方程。

IV 无穷级数

一、教学内容
1、数项级数
数项级数的概念；数项级数的基本性质；级数收敛的必要条件；正项级数的比较判别法；正项级数的Cauchy判别法与D'Alembert判别法；
2、幂级数
函数项级数；幂级数；幂级数的收敛半径：幂级数的性质；Taylor级数与余项公式：初等函数的Taylor展开.

二、教学要求
1、理解数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，了解级数的Cauchy收敛原理.
2、掌握几何级数和p级数收敛与发散的条件.
3、掌握正项级数收敛性的比较判别法，Cauchy判别法和D'Alembert判别法.
4、了解任意项数的绝对收敛与条件收敛的概念及关系，掌握交错级数的
Leibniz判别法.
5、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
6、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间的求法.
7、了解幂级数的连续性、逐项微分和逐项积分等性质，并能利用这些性质求一些幂级数的和函数与某些数项级数的和.
8、了解Taylor级数与余项公式，掌握基本初级函数的Taylor展开.

V 线性代数

一、教学内容

1、行列式

2、矩阵

3、线性方程组

二、教学要求

1、行列式

2、矩阵

3、线性方程组

一、教学内容

1、  行列式

n阶行列式的定义；n阶行列式的性质；行列式的计算.

2、  矩阵

矩阵的定义与计算；逆矩阵；克莱姆法则；分块矩阵；矩阵的初等行变换与初等矩阵；矩阵的秩.

3、  线性方程组

高斯消元法；线性方程组的相容性定理；n维向量及n维向量组的线性相关性；向量组的极大无关组与向量组的秩.

二、教学要求

1、  行列式

   了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计算.

2、  矩阵

了解矩阵的定义；掌握矩阵的加法、减法、数乘及矩阵的乘法运算；除法（逆矩阵）；掌握n阶方阵的行列式；了解矩阵分块的原则；了解矩阵的初等行变换与初等矩阵；熟练应用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；了解矩阵的秩的概念.

3、  线性方程组

了解相容及不相容方程组的概念；熟练应用高斯消元法判断方程解的情况；了解n维向量的定义，掌握n维向量的线性相关性并能初步判断向量组的线性相关性；理解向量组的极大无关组的定义及向量组的秩，并会利用初等行变换求向量组的极大无关组和秩.

VI 线性规划与数学建模

一、教学内容

1、数学建模概述

数学模型的概念；建立数学模型的方法和步骤；数学模型的分类.

2、线性规划问题及其数学模型

运输问题；生产与组织计划问题；配料问题；线性规划问题数学模型的一般形式和标准形式.

3、线性规划问题的性质及图解法

线性规划问题的解的性质；图解法的概念及具体步骤.

二、教学要求

1、数学建模概述

了解数学模型的基本概念；了解建立数学模型的方法和步骤；了解数学模型的基本分类.

2、线性规划问题及其数学模型

了解运输问题、生产与组织计划问题的基本形式；理解线性规划问题模型的一般形式和标准形式，并能化一般为标准.

3、线性规划问题的性质及图解法

理解线性规划问题的性质；基本掌握线性规划问题图解法的解法.

VII 概率统计

一、教学内容

1、随机事件及其概率

随机事件；事件的关系； 事件的运算及性质；概率的定义； 古典概型；概率的基本性质；条件概率；加法公式；乘法公式；全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式；事件的独立性；独立重复试验.

2、随机变量及其分类

随机变量及其概率分布；随机变量的分布函数的概念及其性质；离散型随机变量的概率分布； 连续型随机变量的概率密度；常见随机变量的概率分布；二维随机变量及其联合（概率）分布；二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布；二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度随机变量的独立性；随机变量函数的概率分布；分布 χ²分布、t分布、F分布、分位数的概念.

3、随机变量的数字特征

随机变量的数学期望、方差、标准差的概念以及它们的基本性质；矩的概念；协方差与相关系数.

4、数理统计初步

总体、个体、简单随机样本、统计量、经验分布函、数样本均值、样本方方差、样本矩；

点估计的概念； 矩估计法；极大似然估计；估计的优良性； 单个正态总体均值的区间估计；单个正态总体方查和标准差的区间估计；两个正态总体的均值差和方差比的区间估计；假设检验的基本思想、基本步骤和可能产生的两类错误；单个和两个正态总体的均值差和方差的假设检验

二、教学要求

1、随机事件及其概率

（1）了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算； 

（2）理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率；（3）掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式；

（4）理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

2、随机变量及其分类

（1）理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数F（x）＝P{X≤x}的概念及性质；会计算与随机变量有关的事件的概率；

（2）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0--1分布、二项分布、泊松（Poison）分布及其应用；

（3）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、指数分布正态分布及其应用； 

（4）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本形式：离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率； 

（5）掌握根据自变量的概率分布求其较简单函数的概率分布的基本方法；会求两个随机变量之和的概率分布；了解χ²变量、t变量和F变量的典型模式；理解标准正态分布：χ² 分布、T分布和F分布的分位数，会查相应的数值表。

3、随机变量的数字特征

理解随机变量数字特征（期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。 

4、数理统计初步

（1）理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、并会验正估计量的无偏性；

（2）掌握矩估计法和极大似然估计法；

（3）了解单个正态总体的均值和方差的置信区间的求法；

（4）了解两个正态总体的均值差和方差比置信区见的求法；

（5）理解“小概率原理”，掌握假设检验的基本步骤了解假设检验可能产生的两类错误； 

（6）了解单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。

教学用书：

21世纪高校规划教材《高等数学》（理工类），主编：欧阳长城，江西高校出版社